什么是矩阵？

按照课本上的定义：

矩阵就是由m行n列数放在一起组成的数学对象。

或者更简单一点：

把数列排成矩形，就是矩阵。

对于一个n行m列的矩阵，我们把它叫做一个n×m矩阵。当矩阵的行数和列数相同时，我们称这样的矩阵为正方矩阵，根据其规模将其称为2阶矩阵、3阶矩阵等。通常，用大写字母表示矩阵，用小写字母表示矩阵内的元素。

矩阵的运算-加法和数乘

矩阵的加法和数量乘法的方法和向量基本上是一样的，如下所示（来源：《程序员的数学3 线性代数》）。

下面，我们引入非常重要的运算方法：矩阵与向量的乘积。

其实，矩阵与向量的乘积，可以想成是把向量“放平”，然后分别于矩阵中每一行对应的元素相乘并求和。但是在计算过程中需要注意以下几点：

• 矩阵与向量的乘积是向量
• 矩阵与向量相乘时，矩阵的列数与向量的维数要相等

对矩阵的进一步理解——映射

矩阵和向量的乘积，其实表示了一种“平直”的关系，也就是说，各个数据之间是不相互影响的，只是单纯的各种因素的加和。在这里，我们先说一下“线性映射”的概念。

一般来说，满足 f(x+y)=f(x)+f(y) 以及 f(cx)=cf(x) 的映射f，我们称其为线性映射（其中，x, y 为维数相同的向量，c为常数）。

我们可以看到，将n维向量 x 乘以m×n矩阵 A ，得到的结果是一个m维向量（即f(x)），仍然满足矩阵的加法和数乘规律，也就是说，通过矩阵A，我们确定了一个向量到另一个向量的映射，所以说“矩阵就是用坐标来表示的线性映射”。下图可以直观的表示这种映射关系（来源：《程序员的数学3 线性代数》）：

因为向量可以作为一个点的“位置坐标”，你们在这个理解之上，我们可以说，矩阵，描述了一个“点”到另一个"点"的移动（当然，向量可以是很高维的，大多时候并不是代表一个点）。那么，更广泛一点来说，m×n矩阵 A ，实际上表示的是从 n 维空间到 m 维空间的映射。

在我惊讶于“从 n 维空间到 m 维空间的映射”这句话的时候，我又发现了另一个很有趣味的解释——“矩阵是线性空间里的变换的描述”，在这里和大家一起分享一下：

向量：向量描述对象（在选定基之后）
矩阵：矩阵描述对象的运动（在选定基之后）
是某个对象发生要求的运动，就是用描述此运动的矩阵乘以代表该对象的向量：运动×对象=矩阵×向量

矩阵的乘积

在理解了矩阵和向量的乘积之后，我们来看矩阵和矩阵的乘积（来源：《程序员的数学3 线性代数》）：

如果没有看懂的话，可以看这个：

其实，就相当于把后一个矩阵拆成 n 个向量，分别求积再组合（我自己想的，可能不大严谨）。注意，在矩阵相乘的时候，一定要保证 B 的宽度（列数）和 A 的高度（行数）相等。

我们刚刚说，矩阵是映射，那矩阵与矩阵的乘积是什么意思呢？其实，我们可以简单的将其理解为“映射的合成”，将右边矩阵按列分割开来看做若干个列向量，通过左边矩阵的“映射”转换后再组合成为一个新的矩阵，具体的意义之后结合具体的矩阵变换具体分析吧，OK，Bye~

参考：
https://www.cnblogs.com/fengff/p/9758272.html
https://blog.csdn.net/u012513525/article/details/78077151（强烈推荐）
《程序员的数学3 线性代数》（强烈推荐）
https://blog.csdn.net/c991262331/article/details/79893108